关秀玉

辽宁省大连金普新区教育科学研究院

【摘 要】数学教育越来越重视早期代数思维的启蒙教育。北师大版新教材在本轮修订过程中，以发展学生核心素养为指导方向，对促进代数思维发展的内容序列、呈现方式和学习路径进行了系统化、结构化设计。宏观层面介绍了全套教材有关代数内容编写的隐性孕伏和显性学习的修订逻辑，中观层面以“关系与规律”单元为例实现规律探索的显性化，微观层面通过《不计算城堡》一课的“情境+问题串”设计引导学生实现思维进阶。新教材通过系统化的内容序列与路径设计，将课程理念转化为可操作的教学实践，为学生在算术学习中发展代数思维提供了有力支持。

【关键词】早期代数思维；教材修订；关系与规律

自 21 世纪起，全球数学教育愈加重视早期代数思维的启蒙教育。我国课程标准对数与代数领域的内容已多次修订，其中贯彻了重视早期代数思维培养转变的趋势。在这样的背景下，北师大版新教材在本轮修订过程中，以发展学生核心素养为指导方向，对促进代数思维发展的内容序列、呈现方式和学习路径进行了系统化、结构化设计。新教材（新世纪小学数学第五版教材）通过系统化设计，为教学活动提供有力支持，引导学生在探索知识的过程中逐步“找到规律”“发现关系”，同时要求教师关注并有意识地培养学生的代数思维，促进学生符号意识与模型意识的发展，为代数推理积累经验。此举旨在将前沿的课程理念与数学教育研究成果有效转化为便于操作和推广的课堂实践，为小学生代数思维的发展奠定基础、搭建阶梯。

一、早期代数思维发展相关内容的修订逻辑

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》首次提出应发展学生的符号感。《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出：小学阶段学生要能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律，强调符号意识是抽象能力和推理能力的经验基础；要能够通过简单的归纳或类比，猜想或发现一些初步结论，并要求形成初步的代数思维。

早期代数思维的培养并非将正式的代数课程内容提前下移，而是更注重在可操作的活动中让学生初步感悟代数思维，经历简单的一般化过程，积累初步的代数活动经验。本轮教材修订，在原有基础上更加重视小学阶段早期代数思维的系统性培养。依据学生的年龄特点，全套教材中代数思维相关内容的编写设计分为隐性孕伏和显性学习两种形式，第一、二学段以隐性孕伏为主，第三学段以显性学习为主。编写采用隐性课程与显性课程相结合、分散编排和集中编排相结合的方式，搭建符合学生认知规律的思维发展路径，为学生代数思维的形成奠定基础。

在第一学段，教材编排以分散孕伏为主要方式，将代数相关内容分散融入其他内容之中，使学生在学习活动中发现数学和生活存在诸多关系和规律。例如，在数与代数领域中，探索一列自然数的变化规律并填空，探索加法表、减法表及乘法口诀表中的运算规律。

在第二学段，着重引导学生积累运用符号探索并表征简单规律的经验。除在教材各部分分散渗透规律及相关知识外，还专门设置了集中学习的独立单元。三年级下册的“关系与规律”单元，一方面将隐性规律显性化，引导学生对数学和现实生活中的关系与规律展开探索；另一方面以探索规律为依托，引导学生体会发现规律、表达规律的方法，为后续分析数量关系积累经验。四年级下册的“等量代换”单元，引导学生学习借助“等量的等量相等”这一数学事实开展推理，从关系的角度认识相等关系，为后续代数推理积累经验。在此学段，学生进一步体会相等与不等关系，能够进行简单的推理和代换，探索运算中的简单关系，运用图表、文字、符号等多种形式进行表达，构建规律，凭借关系进行思考，尝试进行一般化表达，进而发展代数思维。独立单元的设置，是全套教材通过系统化设计促进代数思维发展的显性标志。

在第三学段，重点在于探索运算模型以及运用符号表示数和数量关系。通过创设合理的实际情境，引导学生探索并抽象出加法模型与乘法模型，运用这些模型解决实际问题；学习用字母或含有字母的式子表达数量关系、性质和规律，理解用字母表示的一般性，利用关系和规律进行推理等。该学段代数思维的发展目标在于：体会一般化的价值，探索用字母表示具体情境中的数量关系和规律，感悟字母参与运算的价值，体会用字母表示数所具有的简洁、清晰、便利等特性，并尝试运用其解决问题，体会变量之间存在的不同变化规律，初步感受函数思想。

本轮教材的修订，力求将数学课程的理念与目标以恰当的方式呈现出来，进而从教材改革的层面推动数学课程的改革与发展。

二、“关系与规律”单元内容解析及编写特点

在开展数学问题研究时，人们通常会先发现某些事物之间存在关联，随后通过深入探究，发现其中蕴含一定规律，进而进行抽象概括，建立模型并推广应用。北师大版新教材三年级下册的“关系与规律”单元，是全套教材中首个与关系、规律相关且以独立单元形式呈现的单元，共 3 个课时，每个课时的内容虽相对独立，但整体上符合思维的递进过程。

第 1 课时《不计算城堡》旨在探索两个加法算式的大小关系并发现规律，即对加法单调律进行初步探索。数学家克莱因指出，在初等数学中， 加法所依据的5条基本法则包括：（1）a+b仍然为一个数，即加法总是可行的（减法则不同，在正整数范围内不一定可行）；（2）a+b 是单值的；（3）结合律（a+b）+c=a+（b+c），因此完全可以去掉括号；（4）交换律a+b=b+a；（5）单调律，若b>c，则a+b>a+c，强调单调律在快速运算（即估算）中经常运用。由此可见，探索加法单调律具有重要价值。本课时以“不计算城堡”为情境，引导学生在不计算得数的前提下，从直觉判断入手，通过归纳与直观分析，逐步发现规律，并尝试用符号进行一般化表达，最终将比较与推理拓展至两个加数均不相同的更普遍情形的应用。

第 2 课时《相等城堡》着重探索两个加法算式的相等关系并发现规律，即探究在加法中“和”恒定的情况下加数之间的关系。有研究表明，在关系性思维的培养方面，与包含一个未知数的等式相比，含有两个未知数的等式更有助于学生运用关系性思维。新教材创设了“相等城堡”这一主题情境，在城堡中，算式两两一组结伴出现，能够“成为好朋友”的实则为等式，通过为两个伙伴提供帮助引出问题。首先结合情境，明确两个算式的结果要相等，然后凭借直觉或随意填写，使两个等式成立。教材进一步通过问题串引导学生“多写几个这样的式子”，此时学生在完成任务的情况下，会主动思考使等式成立的填数方法，并在列举过程中发现所填写的两个数之间存在一定关系。在此环节中，学生对等式进行操作与对比，实现从算术思维到代数思维的转变。最后以探究所填写的两个数之间为什么会有这样的关系为契机，推动学生深入思考，尝试通过说理、推理、画图等方式清晰地表达自己的思维过程。

第 3 课时《欢庆节日》致力于探索简单周期中的规律。新教材通过创设含有周期性重复这一数学信息的“欢庆节日”情境，以情境中的“挂彩旗”为例，通过观察让学生感受生活中存在的周期重复现象，并运用喜欢的方式对周期现象进行记录与表达。在此基础上，探索按这样的规律继续挂下去，第15面彩旗是什么颜色。学生在事物不断重复的过程中，积累直观、具体的操作经验，探索事物按周期重复时存在的内在规律，进而尝试运用规律解决问题。在探索规律的过程中，学生的观察、比较、推理、应用等能力将得到提升与发展。

对三年级学生而言，无论是对关系进行抽象表达，还是对规律进行探索与认同，都具有一定挑战性。因此，本单元内容的编写呈现出以下特点。

1. 依据学段特点，设置细而微、可操作的探究任务

本单元每一课时的教学内容均选取具有关系或规律的情境，引导学生深入探究，降低推理难度，感悟抽象与推理的过程。通过探索简单的关系与规律，学生能够掌握方法，积累初步经验，进而提升思维水平，为后续在各个学习领域对有规律的学习内容进行探索、归纳、抽象提供经验基础。本单元的教学内容多以童话情境为切入点，符合第二学段学生的年龄特点，有助于激发学生的探索欲望。同时，通过设计可操作的活动，便于学生在操作过程中发现事物变化的规律，并借助学具探究规律存在的原因，进而作为规律抽象表达的依据。

2. 在探索关系与规律的过程中凸显几何直观的作用

几何直观不仅可以用于解决与图形有关的概念问题，还可以作为一种数学学习与问题解决的工具，用于解决其他数学领域中的问题。第二学段的学生较难理解关系与规律，因此在其探索过程中充分运用几何直观，使关系和规律可以轻松地“看”出来是必不可少的环节。在本单元的前两课时《不计算城堡》和《相等城堡》中，关于加法单调律、加法的“和”恒定时两加数之间关系的探索，新教材呈现了画图等方法，通过几何直观帮助学生理解“关系”的存在与合理性。在探索规律过程中，学生通过摆一摆、画一画等方式，充分运用几何直观发现“变”与“不变”，为规律的抽象与表达提供了思路。而在《欢庆节日》一课中，无论是规律的探索还是模型的初步应用，几何直观都发挥了关键作用。

3. 经历“直觉—直观—抽象—符号表达—建模”的全过程，为学生感悟早期代数思想提供路径

尽管学生对于如何推理、解释、抽象及表达关系与规律尚不够清晰，但当他们面对这些问题时，往往能够凭借一定的直觉去感知。在数学学习和研究中，这种直觉经验尤为宝贵。然而，对关系与规律的探究绝不能仅依赖于这种直觉经验。因此，新教材中每课时都注重从学生的直觉经验出发，通过精心设计问题串，引导学生关注自身的直觉，在直观可见的画图、操作等过程中逐渐明确自己的感受，再通过列举、归纳将发现的关系和规律用符号进行抽象，进而建立模型，得到一般性表达。每课时的探索任务虽简单，但都为学生提供了完整的探索规律的路径与方法，以期让学生在后续学习过程中，能够尝试运用并逐步形成相应能力。

值得注意的是，本单元的设置具有双重意义：在知识层面，所探索的规律本身在解决数学与生活问题中具有实际价值；在素养层面，在探索过程中对“如何找到规律”的体验和思考，比发现数学规律更为重要。

三、学生早期代数思维在教材引领下的发展过程

前文从宏观逻辑层面和中观单元层面，阐释了教材修订如何为早期代数思维的系统化培养铺设路径。现以“关系与规律”单元中的《不计算城堡》一课为例（如图1），深入剖析教材引领学生思维进阶的过程。

新教材通过创设“不计算城堡”童话情境，围绕在不计算算式结果的前提下比较两个加法算式和的大小这一核心任务展开。城堡大门上的算式为“45+26”，密码键上呈现了3个算式，分别对应不同的比较情形。

该情境设置了“不计算”的认知冲突：学生既要比较算式结果的大小，又需遵循“不能直接计算结果”的规则。这种强烈的认知冲突，使学生跳出“先算后比”的算术程序，转而探寻一种不依赖具体得数、基于算式结构关系的新比较策略。

数学活动1，以“38+45”与“45+26”为例，大门上的算式“45+26”成为一个固定的比较基准。当学生面对“38+45”时，会观察两个算式的结构异同。他们会迅速发现两个算式中都有一个加数“45”，从而将“比较两个和的大小”这一复杂问题，简化为“比较另一个加数（38 与 26）的大小”这一简单关系。这实际上是在构建一种关系推理的思维：因为共同部分（45）相等，所以整体的大小关系由另一部分（38与26）的大小决定。教学中引导学生尝试用自身的方式表达规律（如图2）。通过画图与交流，学生初步形成了“一个加数相同，另一个加数更大，算式的和就更大”的直观认识，实现了从直觉到直观的进阶。

数学活动2，进一步探讨“13+45”与“45+26”的大小，这处于思维的逆向检验与巩固阶段。学生运用在第一个问题中刚刚萌芽的关系比较策略，能迅速判断不能进入城堡。这个反例能帮助学生意识到所发现的策略（比较不同加数）并非特例，而是具有普遍性，无论另一个加数是大于还是小于基准，该策略都适用，从而增强了对关系推理的理解。

数学活动3，属于思维的抽象与表达阶段。在前两个具体例证的基础上，这一活动推动学生进行归纳总结，用一般性的语言描述所发现的规律。教师可组织学生观察两组算式，并与同伴交流自己的发现，学生可基于这两组算式初步归纳出规律。但仅依据两组算式得出的结论缺乏说服力，教师进一步启发学生思考：“只比较‘13’和‘26’的大小就能判断算式的大小，那‘45’是不是有什么神奇魔力？”以此激发学生的探究兴致。追问：“如果把这个‘45’换成其他数，规律还能成立吗？为什么会如此呢？”让学生通过列举更多例子进行验证，从而认识到：只要两个算式中有一个加数相同，就可以通过比较另一个加数的大小来判断两个算式和的大小。至此，学生对规律的探索由个例迈向一般化，初步构建了模型——尽管此模型是以语言描述的方式呈现的。教师可以鼓励学生尝试用简洁的方式表示发现的规律。如图3中呈现的学生作品，标志着学生的思维产生了质的飞跃——他们开始尝试用概括性的符号来表征一类算式的共同结构，这正是早期代数思维符号意识形成的具体体现。

《不计算城堡》这一课并非简单的“比较大小”技巧训练，而是经过精心设计的、完整的认知建构过程。该课以“不计算”为明线，以“发现关系”为暗线，通过认知冲突激发学习需求，让学生经历“感知—确认—概括—迁移”的完整认知过程。借助教材的“情境+问题串”，逐步引导学生的思维从依赖数值到关注关系、从具体解释到概括表达、从语言描述到符号表征的深刻转变，将代数思维的种子悄然播撒于每一个看似简单的算术任务之中。

数学教育的目标之一，是引导学生实现从具体的、程序性的算术思维向一般性的、结构性的代数思维的深刻转变。这一思维的发展在很大程度上依赖于课程与教材能否搭建适宜且系统的认知“脚手架”，同时也取决于课堂学习过程中教师培养学生早期代数思维的意识以及为学生提供的学习空间与有力支持。只有当教材设计与课堂教学实践同频共振、形成合力时，学生思维的转型才能从想象变为现实。

2026.3